Media-varianza Analisi Che cosa è un media-varianza Analisi Un'analisi media-varianza è il processo di valutazione del rischio (varianza) contro rendimento atteso. Osservando il rendimento atteso e la varianza di un bene, gli investitori cercano di fare scelte di investimento più efficienti che cercano la varianza più basso per un determinato rendimento atteso o che cercano il più alto rendimento atteso per un dato livello di varianza. SMONTAGGIO media-varianza analisi del media-varianza è un componente della moderna teoria di portafoglio. che assume gli investitori a prendere decisioni razionali e si aspettano un rendimento più elevato per un aumento del rischio. Ci sono due fattori importanti in analisi media-varianza: varianza e rendimento atteso. Varianza rappresenta come spread-out del set di dati numeri sono, come la variabilità giornaliera o settimanale rendimenti di un singolo titolo. Il rendimento atteso è una valutazione probabilità soggettiva sul ritorno del titolo. Se due investimenti hanno lo stesso rendimento atteso, ma si ha una differenza inferiore, quello con la varianza più bassa è la scelta migliore. Diversi livelli di diversificazione possono essere raggiunti in un portafoglio, combinando azioni con diverse varianze e rendimenti attesi. ritorno Esempio di calcoli al portafogli atteso è la somma di ogni rendimento atteso securitys componente moltiplicato per il peso nel portafoglio. Ad esempio, assumono le seguenti due investimenti sono in un portafoglio: di investimento A: valore di 100.000 e rendimento atteso del 5 investimento B: valore di 300.000 e rendimento atteso del 10 Considerando un valore del portafoglio totale di 400.000, il peso di ogni attività è: di investimento A peso 100.000 400.000 25 investimenti peso B 300.000 400.000 75 Così, il rendimento totale atteso del portafoglio è: rendimento del portafoglio atteso (25 x 5) (75 x 10) 8,75 varianza del portafoglio è leggermente più complicato che non è un semplice media ponderata del investimenti varianze. Poiché le due attività possono muoversi una rispetto all'altra, la loro correlazione deve essere preso in considerazione. Per questo esempio, assumere la correlazione tra i due investimenti è 0.65. Assumere anche la deviazione standard (la radice quadrata della varianza) di Investimento A è 7 e la deviazione standard per gli Investimenti B è 14 La varianza portafoglio per un portafoglio di due-asset si trova con la seguente equazione: Portfolio varianza w (1) 2 xo (1) 2 w (2) 2 XO (2) 2 (2 xw (1) XW (2) XO (1) XO (2) xp) w (1) il peso portafoglio di investimento A o (1) lo standard deviazione di investimento A w (2) il peso portafoglio di investimento B o (2) la deviazione standard di investimento B p la correlazione tra di investimento A e Investment B In questo esempio, la varianza del portafoglio è: portfolio varianza (25 2 x 7 2 ) (75 2 x 14 2) (2 x 25 x 75 x 7 x 14 x 0,65) 0,0137 la deviazione standard del portafoglio è la radice quadrata di questo numero, o 11.71.Investments: Lezione 3 teoria media-varianza Philip H. Dybvig Washington Università di Saint Louis decisione teoria teoria varianza medio-Means, varianze, e covarianze Il valore della diversificazione ottimale scelte di portafoglio lezione precedente successivo lectureCopyright copiare Philip H. Dybvig 1997 teoria decisione teoria della decisione 2000 ci dà un quadro concettuale per formalizzare la scelta ottimale. Questo quadro è quasi indispensabile se vogliamo risolvere per una scelta ottimale, ed è utile anche per pensare a un problema di scelta, anche se abbiamo intenzione di utilizzare una combinazione di intuizione e analisi informale per prendere la decisione finale. I pezzi essenziali di un problema di scelta sono le variabili di scelta. la funzione obiettivo. ei vincoli. Possiamo anche avere parametri. che sono input al problema di scelta che può essere variato. Un semplice consumatori decisione Problema Le variabili di scelta sono c1. c2. e C3. quali sono le spese per tre classi di prodotti di consumo. La funzione obiettivo è U (c1, c2, c3). che rappresenta le preferenze dei consumatori per i diversi modelli di consumo. Ci sono quattro vincoli. il vincolo di bilancio e tre vincoli positività. Alcuni parametri del problema includono i prezzi p1. p2. e p3. e la ricchezza W. Ci possono essere altri parametri che descrivono le caratteristiche della funzione di utilità. I parametri non sono scelti come parte della decisione li lasciamo flessibili per consentire di studiare, per esempio, la sensibilità del consumo di buono per il suo prezzo. Un semplice Investimenti Problema Le variabili di scelta sono q1. q2. e Q3. quali sono gli investimenti proporzionali in tre diversi titoli. La funzione obiettivo è Eu (W1). che rappresenta le preferenze degli investitori oltre diverse vincite casuali. Il primo vincolo è il vincolo di bilancio che le proporzioni nella somma titoli a uno, e il secondo vincolo definisce il payoff W1 dato gli importi investiti ei rendimenti casuali R1. r2. e r3 sui tre titoli. Per completare questa specifica, dovremmo specificare la particolare funzione di utilità U e la distribuzione di probabilità congiunta dei rendimenti. Una ancora più semplice Investimenti Problema Supponiamo che ci siano due attività, una delle attività senza rischio 1 con ritorno 10 ed una attività rischiosa 2 con rendimenti ugualmente probabili -10 e 50. Partendo dal presupposto che la funzione di utilità è u (W1) W1-.004w12 e la ricchezza iniziale è 100, possiamo sostituire a vincoli (ad esempio q1 100 2T) e utilizziamo algebra elementare per ridurre il precedente problema di scelta a quanto segue. La soluzione è q2 .15. vale a dire 15 della ricchezza dovrebbe essere in attività rischiosa e 85 nel bene privo di rischio. (Un modo di provare questo è quello di scrivere la funzione obiettivo come 61,69-4,0 (q2 - 0,15) 2.) Si tratta di una strategia molto conservativa una soluzione meno conservatrice porrebbe se abbiamo sostituito .004 con un numero minore, che rappresenta una avversione al più piccolo per l'assunzione di rischi. Una ancora più semplice Investimenti Problema (Algebra Dettagli) (dal momento che la piazza non può essere negativo), che è il valore quando Q20 tipi di problemi di portafoglio per una scelta di portafoglio individui, il problema di scelta nelle diapositive precedenti è un buon inizio. Nella maggior parte delle impostazioni istituzionali, ci sono almeno due livelli di gestione. Al livello più alto, lo sponsor piano (il rappresentante dei beneficiari) deve scegliere proporzioni del portafoglio da destinare a diverse classi di attività e più specificamente come assegnare i fondi all'interno di ogni classe di attivi di diversi gestori (che può o non può essere in - casa). Chiamiamo questa selezione di classi di attività ampio di asset allocation. Il problema dello specifico manager (che può gestire un portafoglio di azioni o titoli di Stato o obbligazioni convertibili), ci riferiamo come la gestione portafoglio parziale. Tradizionalmente, la finanza accademica non ha preso in esame i problemi portafoglio parziale, che sono significativamente diversi da problemi di asset allocation. manager portafoglio parziale sono generalmente giudicati relativamente un adeguato punto di riferimento per l'asset class e sono vincolati direttamente e indirettamente in quanto essi possono discostarsi dal benchmark. Gli strumenti tradizionali di asset allocation possono essere modificati in un modo naturale per studiare la gestione portafoglio parziale. teoria media-varianza teoria media-varianza è un importante modello di investimenti sulla base di teoria delle decisioni. E 'il modello più semplice di investimenti che è sufficientemente ricco per essere direttamente utile in problemi applicativi. teoria media-varianza è stata sviluppata negli anni '50 e '60 da Markowitz, Tobin, Sharpe, e Lintner, tra gli altri. Ironia della sorte, è ancora chiamato Modern Portfolio Theory (MPT) da alcune persone. Mentre non è più il modello più moderno, teoria media-varianza continua ad essere il cavallo di battaglia principale su cui si basa la gestione del portafoglio analitica. La versione di equilibrio della teoria media-varianza è chiamato il Capital Asset Pricing Model (CAPM). La caratteristica più bella della teoria media-varianza è la sua semplicità. Assumendo che le preferenze dipendono solo sulla media e la varianza di payoff e non su altre caratteristiche, si ottiene un numero di risultati robusti. teoria media-varianza e CAPM: idee principali assumere rischi in proporzione al premio di rischio e inversamente proporzionale con la varianza e l'avversione al rischio. La diversificazione paga. Il mercato ti premia per prendere una quota di rischio tutta l'economia. Il mercato non ti ricompensa per prendere in materia di sicurezza specifiche per il rischio (idiosincratico). Tutti gli investitori in possesso di una miscela di due portafogli, uno privo di rischio (se vi è un bene privo di rischio), e il portafoglio di mercato. Le ipotesi della teoria media-varianza Per il semplice problema di decisione, le ipotesi sono: Singolo-periodo preferenze modello dipendono solo sulla media e la varianza di profitti in un determinato media, varianza minore è preferito Ad un certo scostamento, è preferibile una media superiore Prezzo assunzione, senza tasse o costi di transazione per il modello di equilibrio (CAPM): abbiamo i presupposti di cui sopra e non asimmetria informativa equilibrio competitivo le ipotesi di tasse, costi di transazione, o asimmetria informativa sono talvolta noti collettivamente come l'assunzione di capitali perfetto mercati. Popolazione e campione statistiche per tali statistiche, ci sono versioni di popolazione (che è quello che ci si aspetta o ciò che si vedrebbe in un ampio campione ipotetica che comprende tutta la popolazione di possibili eventi) e le versioni di esempio raccontando quello che è realmente accaduto. Ad esempio, se abbiamo una moneta che riteniamo essere onesti, la probabilità popolazione di teste è 12. Se si è visto 1000 lanci di questa moneta, 508 teste e le code 492, la probabilità campione di teste è 5.081.000 0,508. Noi definiamo varie statistiche in termini di loro versioni campione, ma è importante tenere a mente la differenza tra i valori dei campioni e della popolazione. In molti contesti, la versione di esempio è una buona stima della versione popolazione. Tuttavia, a causa della quantità di volatilità dei rendimenti di sicurezza, mezzi campione possono essere molto cattive stime della popolazione significa. Di conseguenza, utilizzando la versione di esempio in un modello attesa versione popolazione può produrre prescrizioni bizzarri. In particolare, si può incaricare di mettere estrema quantità di denaro in titoli e settori che si sono esibiti meglio del previsto in passato. Review: mezzi, varianze, e covarianze Il rendimento medio, una misura di un valore tipico, è la solita media aritmetica: La varianza, una misura della volatilità o dispersione, è la media quadrato deviazione dalla media: La covarianza, una misura di co-movimento, è il prodotto media delle deviazioni dalla media: Covarianze sono importanti nella teoria di portafoglio perché ci dicono se i rischi si annullano o composto quando le attività sono combinati in portafogli. Portfolio varianze dalle singole variazioni patrimoniali considerare due attività, 1 e 2, i cui rendimenti hanno varianze S12 e S22. rispettivamente, e il cui rendimento hanno covarianza S12. Poi la varianza di un portafoglio con W1 peso nel primo asset e il peso W2 nella seconda risorsa (con peso residuo 1-W1-W2 nel bene privo di rischio) ha varianza Si può dimostrare che - S1 S2 lt S12 lt S1 S2 ( o equivalentemente il coefficiente di correlazione S12 (S1 S2) deve sempre essere compreso tra -1 e 1). Per un portafoglio con molti beni, ci sono molti termini trasversali, come quello centrale qui. Se ci sono n attivi, ci sono n termini di varianza e n (n-1) 2 termini trasversali. In un portafoglio con un universo tipico delle attività, la stima di tutte le covarianze necessari per i termini trasversali è un importante problema pratico, poiché il numero di covarianze può superare il numero di punti di dati. ritorna Sicurezza: rendimenti di mercato e il rumore idiosincratico. Per quote di azioni, possiamo pensare al ritorno essere pari ad un rendimento medio più una parte casuale dal rumore a livello di mercato oltre a una parte casuale idiosincratica alla ditta. Matematicamente, questo significa che dove Meani e betain sono costanti, e lo ZM rumore del mercato e le condizioni di rumore idiosincratici EI sono tutti non correlati (e quindi avere zero covarianze). Questa ipotesi che il rischio idiosincratico è non correlati tra le attività non è strettamente vero (e modelli multifattoriali sembrano adattarsi meglio), ma questa ipotesi ci darà l'intuizione giusta. bene varianza singolo La varianza di una singola attività è dato da Per un grande magazzino tipico, si potrebbe avere betain .8. var (ZM) .04. var (EI) .09, e quindi i beni tornano varianza è 0,1156. In questo esempio, la deviazione standard di mercato è 20 e il patrimonio deviazione standard è sqrt (0,1156) 34. Per un piccolo magazzino tipico, potremmo avere betain 1.5. var (ZM) .04. e var (EI) .16. e quindi i beni tornano varianza è .25. In questo esempio, la deviazione standard di mercato è 20 e la deviazione standard beni è 50. Il valore della diversificazione A titolo di esempio, si supponga che abbiamo messo la stessa quantità di denaro in attività n. Poi il portafoglio risultante ha varianza Poiché il portafoglio diventa più grande, il termine rischio idiosincratico diventa sempre meno importante, e siamo in grado di approssimare il rischio portafogli da parte del primo termine. Ordini di grandezza seguito sulla diapositiva precedente, supponiamo noi formiamo portafogli con asset tutti hanno lo stesso beta 1 e isiosyncratic .3 deviazione standard. Supponiamo inoltre che la deviazione standard di mercato è .2. Poi usando la formula sulla diapositiva precedente, troviamo che la deviazione standard di un portafoglio è calcolato come Qui ci sono alcuni valori di questa funzione: numero di portafoglio di attività deviazione standard Anche se non tutti i beni hanno la stessa varianza idiosincratica, questo dà ancora una precisa immagine qualitativa del valore della diversificazione. Si noti che la diversificazione non influisce sul rendimento medio, che sarà la media delle singole attività rendimenti medi. scelta ottimale del portafoglio: un semplice problema Noi non passare attraverso l'algebra di scelta ottimale del portafoglio. Il messaggio principale prendo dal algebra è che incliniamo in ogni fonte non correlata di rischio in proporzione al rendimento atteso otteniamo e inversamente proporzionale alla varianza e l'avversione al rischio. Questa regola di base spiega come prendere esposizioni consistenti a rischi diversi. Come primo problema semplice, supponiamo che il nostro mix ottimale al momento di scegliere solo tra di asset privo di rischio e del portafoglio di mercato è 50 in ogni, dove il tasso privo di rischio è 5. il rendimento medio sul mercato è di 15. e la deviazione standard del mercato è 20. Supponiamo allora che abbiamo un Island stock che ha un beta pari a zero (questo significa che tutti i suoi rischi non è correlata con il mercato), un rendimento medio di 10. e una deviazione standard di 50. Quanto del nostro portafoglio dovremmo investire in ciascuno dei Island, il mercato, e l'asset privo di rischio Soluzione del problema semplice Sappiamo che l'investimento in fonti non correlate di rischio dovrebbe essere in proporzione al loro ritorno in eccesso medio su varianza. Nel caso del mercato, il rendimento in eccesso medio su varianza è (15-5) .042.5 e questo giustifica un impegno di 50 del portafoglio. Nel caso di Island stock, abbiamo significare eccesso ritorno sopra varianza (10-5) .250.2. Dal momento che questo è proporzionale all'impegno, dovremmo impegniamo 50 (0.22.5) 4 del portafoglio di Island stock. Dopo aver commesso la metà al portafoglio di mercato e 4 per Island stock, noi abbiamo lasciato 100-50-446 di investire nel bene privo di rischio. problema sofisticato con rendimenti correlati Il nostro esempio di Isola Corporation è stato reso particolarmente semplice a causa della beta di zero, che significa che nessuna manipolazione è stato richiesto per il trattamento di fonti non correlate di rischio. In generale, dobbiamo raggruppare le attività in portafogli che forniscono giochi puri in fonti non correlate di rischio. Assumono il portafoglio di mercato e problemi di base sono come nell'esempio precedente, vale a dire che il nostro mix ottimale di un'attività priva di rischio e del portafoglio di mercato è 50 in ogni, dove il tasso privo di rischio è 5. il rendimento medio sul mercato è di 15. e la deviazione standard del mercato è 20. Supponiamo allora che abbiamo un magazzino Hitek con un beta di 1,5. un rendimento medio del 30. e una deviazione standard di 50 idiosincratica. Qual è la nostra partecipazione ottimale di Hitek, il portafoglio di mercato, e l'attività senza rischi problema sofisticata: soluzione Nel problema, non ci è dato il nostro livello di avversione al rischio, ma ci prenderemo che per essere implicita nel nostro mix ottimale tra il mercato e l'asset privo di rischio. In tal caso, il rendimento in eccesso medio su varianza 10.042.5 ci ha indotto a investire la metà della nostra ricchezza. Per utilizzare questo nuovo problema, abbiamo bisogno di concentrarsi sul rischio non correlati, che è una posizione netta, con il rischio di mercato rimosso. In questo caso, prendere in considerazione un investimento che è lunga 100 parti di Hitek, a breve 150 sul mercato, e lunga 150 nel bene privo di rischio. Questo nuovo investimento ha un beta di 0 (che è correlata con il mercato come si vuole), un rendimento medio del 15. e una deviazione standard di 50. L'eccesso rendimento medio del portafoglio è di 30 - (1.5) 15 (1.5) ottobre 5-05. Di conseguenza, il rendimento in eccesso medio su varianza di questo è 10.25.4. e dovremmo investire una quota di ricchezza (.42.5) 50 8 in questa strategia. Questo implica dotazioni complessive di 50 - (1.5) 8 38 nel portafoglio di mercato, 8 in Hitek magazzino, e 100-38 - 8 54 nel bene privo di rischio. Ottima scelta di portafoglio: in-classe di esercizio Supponiamo che il nostro mix ottimale di un'attività priva di rischio e del portafoglio di mercato è 50 in ogni, dove il tasso privo di rischio è 5. il rendimento medio sul mercato è di 15. e la deviazione standard del mercato è 20. Supponiamo allora che privilegiamo un Bloochip magazzino con un beta di 1,0. un rendimento medio del 20. e una deviazione standard di 25 idiosincratica. Qual è la nostra partecipazione ottimale del Bloochip, il portafoglio di mercato, e l'attività senza rischi
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